集合

开集和闭集

因为在凸优化中，很多最优点都是在定义域的边界上既得的，因此，对于定义域是开集还是闭集，是非常重要的。也因此开集和闭集的研究，需要比多数的数学领域更加仔细。

开集是开区间的扩展。 $(a,b)$ 是一个开区间，表示集合 $\{x|a<x<b\}$ 。

一个开集是这样的一个集合：集合内的所有点对应的一个开球都处于这个集合内。或者，用数学语言来说，集合 $U$ 是开集，则 $\forall x_0 \in U$ ，均存在 $\epsilon>0$ ，使得 $\{x|d(x,x_0)<\epsilon\}\subseteq U$ 。再或者更直观地理解，开集就是把“皮”(边界点)都剥掉的一个集合(注意此理解并不准确，因为有无边界集(Unbounded set)的存在)。

闭集和开集相反，是包含了所有边界点的集合。又可以理解为任意的集合中的元素极限点包含于集合中，即闭集是对于极限运算封闭的集合。用数学语言讲就是，如果 $U$ 是一个闭集，那么对于任意的 $\{x_k\}\subset U$ 且 $x_k \rightarrow \overline{x}$ ，均有 $\overline{x} \in U$ 。

可以直观地理解为，闭集是用“皮”包起来的集合。

注意，如果一个集合只有一部分皮，就像是一个正在剥的煮鸡蛋一样，那么这个集合既不是开的，也不是闭的。而对于一个空间来说(如一条直线，一个平面等等)，既可以说它是开的，也可以说它是闭的(根据定义就知道了)。空集既是开集也是闭集。

有界和无界

有界集(Bounded Set)是指大小不为无穷的一个集合，此处的大小不是指元素个数，而是每个元素的值。即如果集合 $S$ 是有界的，那么存在 $r>0$ ， $\forall x_1,x_2 \in S$ ，均有 $d(x_1,x_2)<r$ 。

如果一个集合不是有界的，那么它就是无界(Unbounded Set)的。

例1：集合 $\{(x, y) | xy >= 1\}$ 是一个闭的无界集合。

例1图示

如果一个集合是闭的，并且是有界的，那个称这个集合为紧致集(Compact Set)。如例1就不是紧致集。

闭包和内部点

一个集合的闭包(closure)，是包含这个集合的所有闭集的交集。直观上讲，就是这个集合“同样大小”，但是外面的“皮”是完整的集合。一个集合的闭包可以看作是一种运算，集合 $U$ 的闭包记为： $cl(U)$ 。

与之相反，如果一个集合把它的所有的“皮”都剥掉的话，就得到了这个集合的内部点(interior)。集合 $U$ 的内部点记为： $int(U)$ 。